也谈高中数学形式化及其教学

段志贵，张 雯

也谈高中数学形式化及其教学

段志贵1，张 雯2

（1．盐城师范学院 数学与统计学院，江苏 盐城 224000；
2．南京师范大学 教师教育学院，江苏 南京 210023）

有关数学形式化及其教学曾在20世纪90年代引发广泛讨论．伴随着中国高中数学课程标准从2003年实验版到2017年版及其2020年的重新修订，革新教学内容、改革教学方式成为时代发展的必然要求，重新认识和探讨新时代数学形式化及其教学具有十分重要的意义．基于文献研究和思辨性分析，提出数学形式化即是数学内容的抽象化与数学概念的符号化．数学形式化具有过程性、层次性及关联性等特点．与科学数学相比，学科数学重在传承、生长和理解，其形式化有所淡化．新的高中数学课程标准有关形式化内容表述的修订并非舍弃形式化的学习要求，而是力求更客观、更具体，体现适度性．改进高中数学形式化内容的教学要遵循“注重过程，渐进导入”的教学原则，运用情境化引入，降低形式化门槛；
渐进性铺垫，搭建形式化平台；
符号化呈现，揭示形式化内涵；
巩固性训练，促进形式化理解．

高中数学；
数学形式化；
教学策略；
注重过程；
渐进导入

自20世纪90年代以来，中国数学教育界对于是否需要“淡化概念”，怎样处理数学教学中的“实质”与“形式”，有过比较广泛的讨论[1]．陈重穆、宋乃庆两位数学教育界前辈针对数学教育脱离教学实际的现象提出要基于学生年龄特点“淡化形式，注重实质”[2–3]．但也有人认为，为适应信息社会对数学发展以及相关学习内容下移的要求，要逐步加强数学的形式化教学[4–5]．更多学者提出在数学教学中要正确处理好数学形式化与非形式化之间的关系，两者不可偏废[6–7]．研究者曾就这一话题，与部分高中数学教师交流，让人诧异的是不少教师对有关数学形式化教学并不关注，部分教师甚至根本不知道数学形式化的内涵，错把数学形式化理解为一般意义上的一种教学方式．基于走访调查和文献分析，研究发现当前高中数学教师在数学形式化教学上的困惑主要包括“什么是数学形式化”，“数学形式化具有哪些特点”，“新课程标准下的高中数学形式化教学有否具体要求”以及“怎样组织和实施高中数学形式化教学”等．针对这些问题，立足学科核心素养培养，结合进入21世纪以来中国两次颁布的高中数学课程标准对形式化内容的教学要求，思辨性地探讨高中数学形式化教学内容及其教学方式，以期为高中数学形式化教学提供合理化建议和参考性样例．

2.1 数学形式化的内涵

数学形式化是指对数学内容进行提炼、整理、组织，使其从具体到一般，并用数学语言表达出来的过程[8–9]．概括地说，就是内容的抽象化与概念的符号化．其目的是从复杂的现实中提取出数学本质或一般规律，用符号替代冗长的表述或表达深刻的思想，以利于简化和概括，助推认知、理解或深入研究．初等数学中的“用字母表示数”，即是一种最基本的数学形式化．形式化是数学的基本特征之一，符号化则是形式化的高级形态．

从数学研究目的上看，数学以简洁的形式化符号（或其它数学语言）表征，揭示出现实世界的数学本质与规律；
从数学研究对象上看，数学研究的是对现实世界数量关系和空间形式逐级抽象后形成的形式化思想材料；
从数学研究过程上看，各个数学模块（或分支）经过形式化的加工，都能构成一个相对完整的公理体系，例如从自然数系开始形成的代数学和从欧几里得几何开始形成的各种几何学，都是形式化数学的范例．纵观数学的演进与发展，不难发现形式化有助于数学的发现和创造，有助于数学的严格化、系统化和现代化．近现代数百年的数学发展历程表明，中国数学与西方数学有着较大差距，原因之一就是西方较早创立数学符号并利用了数学的形式化．

数学形式化的形成与发展是人类智慧的结晶．千百年来，人类在适应和改造自然的生活实践中，经历识别、联想、分析、推理、综合和表征等思维过程，从中提炼数学思想、抽象数学符号并获取各种数学意义；
再回归数学学习与研究中去，对数学符号进行不断地改造、简化或淬炼，以形成特定的数学形式和内涵．数学形式化的学习，使得人们对数学符号不只知道“表示什么”，更能深入地了解这些符号“意味着什么”，从而为数学符号赋予“新的意义”，让死板、枯燥的数学因为符号的参与具有了审美意趣，赏心悦目．

2.2 数学形式化的认识和理解

数学抽象是数学最基本的思维方式[10]，形式化是其最显著的特点之一．更全面地领会数学形式化的本质，需要正确认识并深刻理解数学形式化的过程性、层次性及其关联性．

学科，也称科目，是依据一定的教学理论组织起来的科学基础知识体系[11]．为了满足数学教学需求，学科数学需要对科学数学进行内容筛选、调整并根据不同学段重新编排，力求切合各学段学生的年龄特点和身心发展规律[12]．

3.1 学科数学形式化与科学数学的比较

学科数学与科学数学，一个是数学的教育形态，一个是数学的学术形态，二者既有联系又有区别．学科数学是在合乎教学要求的基础上，对科学数学内容的取舍，它既包括了科学数学上有定论的、比较稳定的、重要的基础知识，如概念、原理、规律和基本事实等[13]，又涵盖了对数学文化和数学价值（应用、思维等）的描述．与科学数学相比，学科数学的形式化有所弱化，主要缘于以下3个方面．

一方面，学科数学重在传承，具有教书育人取向的社会性．科学数学活动的任务是探索、发现人类未知的数学规律，完善和发展数学的科学体系，解决数学理论与应用的前沿问题．而学科数学的任务则是使学生获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”“四能”，能够会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．

另一方面，学科数学重在生长，遵循学生认知发展的规律性．科学数学的特点是高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性．作为学科的数学，虽然也具有上述特点，但其抽象性、严谨性的程度却没有科学数学那么高，也不必那么高，它处于一种合理的“中间状态”．因而，着眼于学生身心发展水平和认知规律，采用相对具体、直观的教学方式可能更有利于学生的学习理解和能力培养．

再一方面，学科数学重在理解，强调知识发生发展的过程性．对于科学数学而言，其工具性特点和高度简约化特征必然要求其从现实中剥离出来，概括、抽象并高度凝练，以达到一般化，实现形式化．排斥形式化即是限制科学数学本身的发展．历史上，拒绝莱布尼兹发明的微积分符号曾使得英国数学落后欧洲数学数十年．而对于学科数学，则一般是从生活情境入手，从人类认识的初始状态介入，通过暴露数学知识的发生发展过程，让学生从中积累数学活动经验，获得数学思想方法的体验或感悟，以利于不断提高思维层次和认识水平[14]．

3.2 学科数学形式化的课标要求

2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“实验版”）[15]对“数学形式化”明确提出要“强调本质，注意适度形式化．”“形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识．”值得关注的是，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“2020修订版”）[16]删除了这一表述．统计两版课标中出现的“形式”与“形式化”的次数及其文本呈现例证，如表1所示，不难发现，“2020修订版”中对“数学形式化”的描述大篇幅减少，但是有关“形式”与“数学形式”的表述并没有减少，在此显示出较强的灵活性，让实际教学具有了一定的弹性空间．

此外，研究也关注到与形式化密切相关的“语言”及其联结词，包括“自然语言”“生活语言”“图形语言”“符号语言”“数学语言”以及具体的“代数语言”“集合语言”“向量语言”等，在“实验版”中出现了78次，在“2020修订版”中出现了82次；
专门论述有关“自然语言”“图形语言”“符号语言”之间递进关系的论述，“实验版”和“2020修订版”出现的次数一样多，都是5次．

表1 课标中的“形式”与“形式化”的统计

由此可见，“2020修订版”课程标准中对形式化内容表述的修订并非舍弃形式化的学习要求，而是力求更客观地服务于数学学科核心素养的培养，更具体地贴近学生学习和学科教学的需要，对形式化既不片面拔高，也不无端忽视．概言之，高中阶段的形式化不一定是完全意义上的形式化，带有一定的相对性．正确认识、理解和执行课程标准，就要明确高中数学形式化只能是向着数学形式化过渡的数学语言，或是帮助理解具有数学学科特点的表达形式．这些数学语言或表达形式都是形式化教学的基本内容和呈现方式，合乎培养学生“数学抽象”素养的教学要求．

3.3 学科数学形式化教学的“度”

数学教材是高中数学教学的重要工具，也是学生知识的重要来源．但数学教材上的知识（定义、演绎、推理等）一般只是呈现形式化的结果，有血有肉的探索性发现过程有可能被省略了．教师若照本宣科，则学生只是按照“记忆—应用”的被动模式学习，就会掩盖数学的思维过程，忽略数学本质的揭示．

20世纪60年代西方推行的高中数学课程改革，即所谓的“新数学运动”，过分强调结构化、抽象化和形式化，片面追求演绎推理，忽视归纳、类比推理，远远超过了中学生的平均能力和身心成熟程度，最终以失败告终．试想在高中“弧度制”内容的教学中，如果教师仅仅告诉学生，“1弧度的概念是弧长与半径相等时所对应的圆心角”，“弧度制是利用半径与弧长的比衡量角的新单位”，学生就可能既不清楚弧度制产生的必要性，也难以理解弧度的概念，更谈不上灵活运用了．有调查发现一部分学生在有关角的运算问题上，仍然下意识地采用角度制进行计算，思维受限，效率低下，正是这个原因所造成的．

显然数学学习的过度形式化是不可取的，然而摒弃数学学习内容的形式化也是不科学的，繁杂冗长的叙述同样不是数学应有的表现形式．实践证明，高中数学适度形式化，不但有助于数学信息的记忆和使用，而且也能帮助学生加深对所学数学知识的认识和理解．试想如果教师对教学内容理解的不到位，降低或放弃形式化内容的学习要求，只教学生联系实际或直观看图去理解、记忆概念，套用公式和题海战术去掌握技能，长此以往怎么能有效地激发学生数学思考，构建有效的数学能力结构？这样教出来的学生往往缺少数学形式化的“浇灌”和“打磨”，开放性思维极可能受阻，遇到不曾见过的问题必然束手无策，后续进阶学习也可能因此障碍重重，更谈不上创新发展了．

基于数学形式化的特点，结合高中数学课程标准两个版本的共性要求，提出高中数学形式化及其教学既不能简单舍弃，也不能急速冒进，要遵循“注重过程，渐进导入”的教学原则．一方面，要精心创设生动形象的问题情境展示教学内容的发生发展过程，揭示数学形式化表征与数学本质的内在联系；
另一方面，要依据学生的认知特点，低起点、有坡度，渐进铺垫，适时凝练，引领学生逐步建立抽象的数学形式化结构．

遵循上述原则，在具体内容的教学上，以“函数的单调性”一课为例，结合学情需要，把教学过程分解为“情境化引入、渐进性铺垫、符号化呈现、巩固性训练”等4个阶段，简称为“引—垫—现—练”4个阶段，如图1所示．

图1 高中数学适度形式化“引—垫—现—练”教学策略

4.1 情境化引入 降低形式化门槛

正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说，“学生对于数学的认识始于常识．”[19]他们对数学表达的认识和理解总是从日常的、非正式的推理开始．高中数学形式化的课堂教学首先应精选或创设与数学知识密切相关、符合学生实际，并且含有一定思维水平的情境引入问题．有关情境及其问题既不能脱离该节课学习的主题，也不能过于简单．前者只是象征性地走过场，还有可能会使部分学生产生误解，后者则不能调动学生思维，对发展学生的核心素养价值不大．这些情境和问题应能将数学与现实的关联性、渐次生长的抽象性形象化地揭示出来．只有这样，才能让学生在具体的、可操作的活动中发现问题、提出问题，逐步提升抽象化思维水平．

天气预报和气温变化图是学生日常生活中比较熟悉的，并且也与函数单调性有着密切的联系．在“函数的单调性”教学的第一阶段，不妨以当地某天的气温变化图为实例创设情境．可以先让学生仔细观察气温随时间的变化图（如图2所示），利用“气温变化的规律是什么？”“这一天什么时间段内，气温在上升？什么时间段内气温在下降？”等问题启发学生思考，让他们通过对给定一天气温变化的观察，先直观、具体地感受单调性，以形成对“单调递增”“单调递减”的初步理解．接着，进一步提问“如果从数学的角度看，这些规律又是什么呢？”“能用数学语言描述吗？”聚焦学生思维，引出课题——函数的单调性．这样既能激发学生的求知欲，使其带着问题听课，也能让学生感受到数学来源于生活，服务于生活．

图2 某地某天气温变化

情境化的引入使得比较抽象的数学形式化内容有了具体化“台阶”．这些富有启发性的问题情境，助力学生拾阶而上，在对有关情境问题的思考或作答过程中，不知不觉进入到数学学习之中，突破抽象化的桎梏，为后续形式化内容的学习奠定基础．

4.2 渐进性铺垫 搭建形式化平台

情境化与形式化都十分重要，但二者并不一定直接相连．从情境化逐步形式化的过程应是“非正式—预形式—形式化”．一般说来，预形式是对情境化前提的一种数学化解读，常常在小组讨论和合作交流中发生发展．显然预形式具有渐进性铺垫功能，为形式化概念的建立搭建了平台．

教学中的铺垫，不能简单地理解为学生小组讨论，而是要在学生已经了解具体问题的基础上，引导学生确定其中蕴含的数学成分及其关系、规则，厘清或架构各成分之间可能存在的内在关系，并尝试运用数学语言表达出来．简言之，就是将现实的或熟悉的情境性问题逐步数学化，促进学生产生由具体到抽象的认知图式．从方式方法上看，教学中的渐进性铺垫离不开师生之间的互动交流．有的教师在教学过程中缺少这样的铺垫，总是迫不及待地想教给学生形式化的符号，这样做欲速则不达，反而会使得一部分学生产生表达与理解上的困难，以致望而生畏，止步不前．

图3 3个初等函数图象

图4 反比例函数图象

渐进性铺垫有助于学生数学思维的逐步提高，有助于他们数学建模等能力的逐步发展，学生在与教师、其他同学的互动交流中，能够逐步理解概念的本质，完善精确概念的表达，也能从中建立起概念本质与数学形式化之间的联系，把那些碎片化、非正式的数学理解过渡到结构化、形式化的数学表征上来[20]．

4.3 符号化呈现 揭示形式化内涵

美国著名数学教育家詹姆斯·希伯特和托马斯·卡朋特合作建构的“表示—联系”理解框架[21]，明确提出学生对于数学概念意义的理解来自两方面：一是数学符号与其它表示形式之间的联系；
二是数学符号语言内部的联系．对形式化数学结果的理解与记忆是高中课堂教学最基本的目标，因此，高中数学课堂教学应在学生对相关情境性问题思考的基础上，注重数学知识的整体性与结构化，关注不同数学知识之间的联结，促进学生形成特定内容模块的知识网络．

4.4 巩固性训练 促进形式化理解

值得注意的是，有关数学形式化的教学并非一节课就能彻底完成．事实上，人们对数学形式化的认识是分阶段，逐步递进和加深的[22]．因此，一节课内容往往只是形式化内容的初步建立，也许还不够完善，还需要在后续学习中进一步充实，使之内涵更丰富，运用更便捷，表达更清晰．就函数单调性形式化表达的建立来说，除了在高一年级第一学期“函数的概念与性质”这一模块教学中出现，在其它时间、其它内容的学习上还可能经常遇见，即人们常说的“螺旋式上升”．为此，在后续有关单调性相关内容的教学上，教师可以通过适切的设问诱思及其巩固性训练，帮助学生夯实理解基础，提升抽象思维水平和符号化表达能力，为不断进阶的函数性质及其应用的学习建构通道．

正如宋乃庆、陈重穆所说的那样：“淡化（形式）是相对的，不是不重视，更不是取消形式．”数学形式化是数学学习不可或缺的重要内容，也是数学教学，特别是高中数学教学的重要组成部分．遵循“注重过程，渐进导入”的数学教学原则，相信高中数学形式化内容及其教学决不是跨不过去的坎、趟不过去的河．只要在日常教学中能够结合学生特点，准确把握课标要求，“引—垫—现—练”，因材施教，就一定能把冰冷美丽的数学形式化内容转变为学生火热的思考，助推学生在积极主动的数学学习过程中提升关键能力，发展核心素养．

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Also on High School Mathematics Formalization and Its Teaching

DUAN Zhi-gui1, ZHANG Wen2

(1. School of Mathematics and Statistics, Yancheng Normal College, Jiangsu Yancheng 224000, China;2. School of Teacher Education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210023, China)

The formalization of mathematics and its teaching have aroused extensive discussion in the 1990s. With the revision of the mathematics curriculum standard of senior high school in China from the experimental version in 2003 to 2017 and its revision in 2020, the innovation of teaching contents and teaching methods has become the inevitable requirement of the development of the times. It is of great significance to re-understand and explore the formalization of mathematics and its teaching in the new era. Based on literature research and speculative analysis, it is proposed that mathematical formalization is the abstraction of mathematical content and the symbolization of mathematical concepts. Mathematical formalization has the characteristics of process, hierarchy and relevance. Compared with scientific mathematics, subject mathematics focuses on inheritance, growth and understanding, and its formalization has been diluted. The revision of the formal content expression of the new mathematics curriculum standard in senior high school is not to abandon the formal learning requirements, but to strive to be more objective, more specific, and appropriate. To improve the teaching of formal content of mathematics in senior high school, we should follow the teaching principle of “paying attention to process and gradual introduction”, using situational introduction to lower the formal threshold, gradually paving the way and building a formal platform, symbolizing presentation to reveal formal connotation, and strengthening training to promote formal understanding.

high school mathematics; mathematical formalization; teaching strategies; process-oriented; progressive introduction

G632

A

1004–9894（2022）06–0060–05

段志贵，张雯．也谈高中数学形式化及其教学[J]．数学教育学报，2022，31（6）：60-64．

2022–07–11

江苏高校哲学社会科学重点课题——《乡村教师支持计划（2015—2020）》下的乡村教师身份认同与专业成长研究（2017ZDIXM151）；
江苏省教育科学“十三五”规划课题——数学学慢生“慢学习”的实践研究（B-b/2020/02/217）；
盐城师范学院教育教学改革重点课题——师范类专业认证背景下的数学教学论课程教学改革的探索和思考（2018YCTUJGZ011）

段志贵（1966—），男，江苏盐城人，教授，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．

[责任编校：周学智、陈隽]

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