数学软件在高中数学教学中的应用分析

杨振平

（嘉应学院 数学学院，广东 梅州 514015）

数学是我国普通高等学校招生全国统一考试中的必考科目，旨在培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和类比联想能力等.随着科学技术和人工智能的高速发展，数学作为基础学科占据着举足轻重的地位.李克强总理在2018年1月3日的国务院常务会议上指出“数学是我国科学研究的重要基础.无论是人工智能还是量子通信等，都需要数学等基础学科作有力支撑.我们之所以缺乏重大原创性科研成果，卡脖子就是卡在基础学科上.”[1]然而，在高中数学教学中，常常因为知识点抽象而导致课堂教学效果不佳，比如基本初等函数的图像变化、函数图像的平移与伸缩、异面直线的位置关系、函数极限等等.另一方面，由于课程内容偏多，学生高考任务重，大部分学校采取“填鸭式”教学方式，这就导致许多学生对部分数学抽象概念理解不透彻，使其觉得数学枯燥无味，学习兴趣不高，甚至厌倦数学.近年来，教育部不断强调教师要在数学课堂上恰当借助现代信息技术辅助教学，改善课堂教学质量，引导学生利用现代信息技术获取数学知识，提高学生学习数学的兴趣[2-5].随着计算机技术的突飞猛进，越来越多的数学软件被开发和使用.这些数学软件具有强大的科学计算能力和出色的可视化能力等，如果在高中数学课堂中借助数学软件辅助教学，将一些抽象的数学概念或数学关系形象化和具体化，不仅能有效提高课堂教学效率，而且可以激发学生的学习兴趣.本文就以在高中数学教学中引入Matlab软件和Lingo软件来分析和求解函数的应用、两直线位置关系、极限以及数学建模等方面的内容，帮助学生深刻理解和熟练掌握抽象的数学概念和性质.

1.1 函数教学中Matlab 的应用

函数是高中数学中尤为重要的内容之一，也是后续学习数列和解三角形等内容的重要基础.然而，函数的概念及其性质等内容也是学生较难掌握的内容之一，主要原因在于该部分内容比较抽象，不易理解.因此，教师在函数相关知识讲授中，若能借助Matlab软件将知识点更直观准确地展示给学生，则有助于学生更深刻地理解和掌握知识点，丰富教学内容，激发学生的学习兴趣，从而达到事半功倍的教学效果.

例如，在函数图像的平移与伸缩教学中，学生容易混淆，经常判断错误.为了引导学生准确理解并掌握函数图像到底是向左还是向右平移、是向上还是向下平移、是沿x轴拉伸函数压缩、是沿y轴拉伸函数压缩，可以利用Matlab软件辅助教学，画出各函数图像，并比较各图像的形状和位置，加深学生对函数平移和伸缩知识的掌握，为学习三角函数图像变换奠定基础.此外，高中数学中确定函数零点的个数是一块“难啃的骨头”.面对此类问题，学生传统做法是令函数等于0，并利用解方程的方式确定函数零点的个数.虽然这个方法对于简单函数较为有效，但对复杂函数就只能束手无策了.当然，很多学生均能想到利用数形结合法进行求解，但手绘函数图像会因其不准确而导致分析错误.可以借助Matlab软件辅助教学，通过准确画出函数图像，根据交点个数来确定函数零点的个数.

例1.设f(x)x2,分别画出函数f(x),f(x+1),f(x1),f(x)+1,f(x) 1,f(2x),f(0.5x),2f(x) 以及0.5f(x) 的函数图像，并比较各函数之间的关系.

解：先利用Matlab中plot语句依次画出各函数图像，如图1所示，并让学生观察各函数图像的位置，然后总结出函数变换规律.

图1

学生通过观察图1发现，当自变量取值整体增加1个单位时，函数图像向左平移1个单位，而自变量取值整体减少1个单位时，则函数图像向右平移1个单位，这就是所谓的“左加右减”；
当函数整体增加1个单位时，函数图像向上平移1个单位，而当函数整体减少1个单位时，则函数图像向下平移1个单位，这则是所谓的“上加下减”.另一方面，f(2x) 是将f(x) 的函数图像的横坐标压缩至原来的0.5倍，并保持纵坐标不变；
f(0.5x) 则是在保持纵坐标不变的情况下，将横坐标拉伸为原来的2倍.2f(x) 和0.5f(x) 则是在横坐标保持不变的情况下，将纵坐标分别拉伸为原来的两倍和压缩至原来的0.5倍.通过利用Matlab绘制各函数图像，引导学生对比图像形状和位置，总结出函数的平移和伸缩规律，不仅能帮助学生加深对函数变换的理解，还有助于提升其运用数形结合法解题的能力.

例2.设确定函数f(x) 零点的个数.

解：显然，直接令函数等于0时，难以求解出方程的解，故无法利用解方程的思想确定函数的零点.下面先将函数拆成两个函数的差，即令，其中，，然后利用Matlab中plot语句画出两个函数各自的函数图像，并引导学生观察两条函数曲线交点的个数，然后分析函数图像交点的意义.

学生从图2中可以看出，两条函数曲线有三个交点，表示f1(x) 和f2(x) 在这三个点处的横坐标和纵坐标均相等，也就是在交点处，函数f1(x) 和f2(x) 之差等于0，这说明函数f(x) 具有三个零点.借助Matlab可视化功能绘制出函数图像，更加直观且准确地解决函数零点的个数问题，进一步加强学生的动手解题能力.

图2

1.2 两直线位置关系教学中Matlab 的应用

两直线的位置关系是高中数学的核心内容之一，其包括平面中两条直线的位置关系和空间中两条直线的位置关系.对于前者而已，通常学生在平面直角坐标系中画出相应的直线图像就可以判断其位置关系.然而，在空间两直线位置关系的教学中，教师通常难以用手工绘图的方式向学生展示空间直线的位置关系，尤其是空间中异面直线与相交直线的判断.对于空间想象能力较为薄弱的学生而言，要深刻理解并熟练掌握该部分的内容更是难如登天.Matlab 可视化图形具有任意旋转功能，教师可以借助该功能向学生全方位展示两空间之间的位置，帮助学生理解空间中两直线的位置关系.

学生观察图3 中可以发现：如果仅看第一个图，两条直线明显是相交直线.然而，随着图形旋转，可以看出两条直线为异面直线.因此，通过借助Matlab 的三维绘图功能和图形旋转功能，将抽象的数学概念形象地展示在学生面前，学生就可以观察、直观感知数学知识，从而理解并掌握原本难以理解的数学知识，提高学习效率.

图3

1.3 函数极限教学中Matlab 的应用

虽然在高中数学内容中没有单独讲授函数极限的这一部分内容，但并不意味着这部分内容与高中数学没有关系.在高中数学选择性必修第二册中，第五章的内容一元函数的导数的基础就是函数的极限.然而，在此之前，学生并没有接触过数列或函数极限相关的知识，这导致学生学习函数导数的知识点时，无从下手，更谈不上熟练掌握.因此，深刻理解极限的概念具有举足轻重的意义.如果教师在讲授导数的定义之前，借助Matlab 的可视化功能将函数极限的动态变化过程展示给学生，这将有助于学生直观感受函数极限的变化过程.进而帮助学生理解函数极限的内容，为学生学习导数相关的知识奠定基础.

解：对于中学生而言，他们并没有接触过极限的概念，故无法利用高等数学中极限的知识来求解上述函数的极限.但他们已经熟练掌握数形结合的思想解决数学问题.因此，可以通过函数图像的变化趋势，引导学生求出函数极限.首先利用Matlab 的for 循环结构实现函数的动态变化图像，如图4 所示，即当x逐渐增大时，逐步计算出相应的函数值，并引导学生观察函数值的变化情况，然后根据函数图像确定函数的极限.

图4

学生可以从动态图4 中观察得到，当x逐渐增大时，函数f(x) 的值逐渐减小，但其取值始终不小于1，而是随着x逐渐增大而越来越接近1，所以当x趋于无穷时，函数f(x) 的极限等于1；
类似地，当x逐渐增大时，函数g(x) 的值逐渐增加，而且其越来越靠近1，但始终小于1，当x取值非常大时，f(x)的值将无限接近1.因此，函数f(x) 的极限等于1.

近年来，为进一步提升中学生利用数学知识解决实际问题的能力，教育部将数学建模与数学探究活动增加到高中数学教材中.在不断完善高中数学知识体系的同时，逐步改变中学生的数学无用论的观点，让学生体会学数学不只是为了高考，更多的是为了解决实际生活中所遇到的问题.受知识体系的局限，高中生在将实际问题抽象为数学问题时，通常只能利用数列、函数、概率统计等知识建立数学模型，以保证建立的模型在其所学范围之内顺利求解.众所周知，数学建模与多变量线性规划息息相关，例如，任务安排、生产配料、产品库存等实际问题.然而，如何有效求解线性规划问题，给中学生带来极大的挑战.如果教师在数学建模涉及线性规划模型的教学中能够借助Lingo 求解模型，这就可以很好的解决学生所面临的困难.原因在于Lingo 软件编程非常简单，易被处于科学技术高速发展时代的中学生理解并掌握.从而强化学生的信息技术的应用能力，提升学生的动手能力，进一步激发学生的学习兴趣.

例5.实验室有两种试剂：每个单位的试剂甲中含有成分A、B、C 分别为12ml、10ml 和5ml；
每个单位的试剂乙中含有成分A、B、C 分别为8ml、7ml 和9ml.在一次化学实验中，杨同学准备利用两种试剂混合(不存在化学反应)得到一种新的试剂，要求新的试剂含有成分A、B、C 分别不少于62ml、40ml 和52ml.已知每个单位的试剂甲为25 元，每个单位的试剂乙为40 元，求该学生需要多少单位的试剂甲和试剂乙在成本最小的情况下满足新试剂要求？

解：设新试剂使用了试剂甲为x个单位和试剂乙为y个单位，总成本为z元，根据题意，可以建立如下线性规划问题：该线性规划问题可以利用图解法进行求解，但要求变量为整数，此时图解法求解较为困难 .故利用Lingo编程进行求解，在编译框中输入min=25*x+40*y; 12*x+8*y＞=62; 10*x+7*y＞=40; 5*x+9*y＞=52; @gin(x);@gin(y);!要求x,y 为整数运行得到的结果为：x5,y3，z245.显然，上述代码非常简单，仅需要使用五行命令即可求解，而且代码格式与模型格式高度一致，学生在学习过程中容易理解并熟练掌握.

本文介绍了数学软件在高中数学中函数、两直线的位置关系、函数极限中以及数学建模等的应用.通过上述内容发现，利用Matlab 强大的可视化功能可以将一些难以理解的抽象的数学概念具体化和形象化，有助于学生更加深刻地理解并掌握数学知识；
利用Lingo 简明易懂的编程功能可以打破学生只能考虑一元函数建立数学模型的局限，提高学生解决实际问题的动手操作能力.高中数学教学与数学软件有机结合，能够最大限度的调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性，从而提高课堂教学质量.

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