基于均匀化方法的砂砾岩储层水力裂缝三维延伸模拟研究

徐康泰

(河北石油职业技术大学 教务处,河北 承德 067000)

由于砾石存在,低渗透砂砾岩储层具有较强的非均质性,水力压裂储层改造难度大,裂缝形态难以控制,裂缝三维扩展形态认识不清[1-3]。同时,砾石与研究区域间尺度差异大,在数值模拟过程中存在计算量大的弊端。本文利用均匀化方法[4-6],有效解决岩体的宏观、细观、微观等多重尺度问题,分析得到砂砾岩储层的宏观弹性本构关系,明显加快计算速度[7-8]。水力压裂裂缝三维几何参数的计算水力压裂的难点和重点,是成功开展压裂施工和产能预测的基础。针对砂砾岩储层,在Palmer 拟三维模型的基础[9-11]上,笔者结合均匀化方法计算的弹性本构关系,得到基于均匀化方法的砂砾岩储层水力裂缝三维延伸数学模型和计算方法。最终,根据建立的数学模型,完成数值模拟研究,研究了若干储层地层参数与施工参数对三维裂缝扩展几何形态的影响[12-14]。

均匀化理论是一种以材料的微观单胞结构为基础的多尺度摄动求解方法,研究的材料具备宏观均执行和微观多尺度非均质的周期性特征,引入宏观尺度与细观尺度,将宏观结构中的多尺度的变量转换为摄动量的渐近级数[7-8]。在此基础上,进一步根据虚功原理得到单胞的平衡方程,结合有限元基本原理,由多尺度材料的控制方程得到其宏观力学特征。

本文研究对象为低渗透砂砾岩储层水力压裂裂缝扩展三维延伸形态,在进行三维几何尺寸的计算前,需要解决由砾石存在带来的多尺度问题,计算砂砾岩储层的岩石弹性本构关系。研究区域内处于宏观尺度下的某点的结构场变量在其邻域ε内也存在高度非均匀特性,在砂砾岩中取宏观坐标上一点x,在细观尺度y上将其放大为研究基础单胞Y,且满足:

式中,1/ε为放大因子。

在细观尺度坐标内,将满足以下数学关系。

平衡方程:

式中,n为边界Ψ上的单位法向量;为施加在边界上的外载荷。

位移边界条件:

式中,为位移张量。

基于虚位移原理,利用渐近展开技术,得到双尺度渐进展开的材料等效积分弱形式:

其中,uε(x)为Ψ域上任一点位移,vi为满足边界条件的虚位移。

通过分析,可得宏观平衡方程、细观平衡方程,分别为式(8)与式(9):

因此,单胞宏观等效弹性张量为:

式中,为单胞域上的位移场;k、l和p为相应的张量指标符号。

在均匀化理论的基础上,结合砂砾岩储层特征,按照式(10),完成砂砾岩储层岩石弹性系数矩阵的均匀化处理。

砂砾岩储层多尺度问题主要表现在储层砾石的存在,故将储层表征为“基质-交界面-砾石”复合态[15-17]。二维平面内,可用粒径与圆心位置表示确定一个砾石。在多砾石情况下,砾石粒径与位置满足随机分布规律,并可采用Monte-Carlo 进行随机抽样,任意生成砂砾岩储层。

砾石粒径l满足正态分布,概率密度函数为:

式中,μ为l的均值;σ为l的均方差。

砾石圆心位置(x0,y0) 满足均匀分布,有:

式中,W为研究区域长,m;H为区域宽,m;rand(0,1)为(0,1)内的伪随机数。

水力压裂裂缝延伸方程主要包括连续方程、压降方程、裂缝宽度方程、裂缝高度方程;在拟三维模型的假设下,以Palmer 模型为基础,具体有:

1)连续性方程假设压裂液为不可压缩流体,压裂液进入裂缝的速度与缝长方向一致,根据流量平衡原理,得到压裂液连续性方程:

式中,q(x,t)是t时刻缝内x处的流体流量,m3/s;λ(x,t)为单位裂缝长度上滤失速度,m2/s;C为地层综合滤失系数;τ为初滤失时间,s;A(x,t)为t时刻裂缝内x处裂缝的横截面积,m2。

2)压降方程根据幂律流体平行板流,考虑截面为椭圆,压降方程写作:

式中,p为产层中部净压力,MPa;x为缝长方向,m;k为压裂液稠度系数;n为流动指数;L为半缝高,m;w为半缝宽,m;q为裂缝内流量,m3/s;ζ为裂缝截面系数。

3)裂缝宽度方程根据England-Green 方程,本文仅考虑在产层中部,上下隔层最小水平应力相等时,且裂缝未达到隔层时,裂缝宽度方程:

式中,S1为产层应力,MPa;S2为隔层应力,MPa;H为产层厚度,m;Pf为缝内流压,MPa。

4)裂缝高度方程水力裂缝内的流体压力沿缝高方向呈现非均匀分布,依据强度因子,考虑在拟三维模型中,与前文假设一致,裂缝在储层中部,且不穿透隔层,得到裂缝尖端应力强度因子。

裂缝断面上端点强度因子:

下端应力强度因子:

式中,L为裂缝半高,m;y1=y2=,m。

利用上文的建立模型,取国内某典型低渗透砂砾岩油藏储层参数,利用砂砾岩储层多尺度数学表征,结合均匀化理论,模拟得到岩石力学参数等效弹性张量;在裂缝扩展拟三维模型的基础上,分析地层参数与施工参数对砂砾岩储层裂缝扩展几何形态影响。数值模拟所需参数有:孔隙度0.05;渗透率1 ×10-3μm2;水平最大主应力45 MPa;水平最小主应力38 MPa;隔层应力差7 MPa;原始地层压力50 MPa;岩石抗张强度5 MPa;基质弹性模量3 200 MPa;基质泊松比0.25;砾石弹性模量5 000 MPa;砾石泊松比0.2;砾石-基质交界面弹性模量2 000 MPa;砾石-基质交界面泊松比0.3;注入排量5 m3/min;压裂液黏度160 mPa·s。

设定砂砾岩储层中砾石粒径为15 mm,砾石含量为70%,采用本文均匀化方法,根据式(10),得到整体宏观砂砾岩等效弹性系数组合弹性模量和泊松比,分别为3 600 MPa、0.22。将得到的等效弹性参数作为后续拟三维水力压裂裂缝延伸计算中,最终输入的砂砾岩储层岩石力学参数,并进行参数敏感性分析,分析不同地应力差、压裂排量与压裂液黏度下的裂缝扩展情况。

不同地层应力差下的水力裂缝三维扩展情况如图1 所示。从图1 可以看出:1)随着应力差的增大,水力裂缝高度明显呈现下降趋势,且裂缝长度和宽度均随之增加;进一步分析,在研究值域内应力差继续增大,裂缝高度、长度与宽度的变化越明显;2)分析其原因,地层应力差的增大,导致裂缝在高度上扩展的难度加大,考虑流量平衡原理,将产生更长的裂缝,并使得裂缝宽度有所增加,裂缝内净压力增大。

不同施工排量下的水力裂缝三维扩展情况如图2所示。从图2 可以看出:1)随着施工排量的增大,水力裂缝高度、裂缝长度和宽度均随之增加;进一步分析,在研究值域内排量的增大与裂缝长度、高度、宽度增大程度类似;2)分析其原因,施工排量的增大,导致缝内压力增大,同时裂缝短时间内的滤失少,裂缝长度、高度与宽度均有增大。

不同压裂液黏度下的水力裂缝三维扩展情况如图3所示。从图3 可以看出:1)随着压裂液黏度的增大,水力裂缝高度与宽度呈现明显下降趋势,裂缝长度反而随之增加;进一步分析,在研究值域内压裂液黏度继续增大,裂缝高度、长度与宽度的变化趋势减弱;2)分析其原因,压裂液黏度的增大,导致压裂液在裂缝内的憋压,净压力增大,导致裂缝在宽度和高度上扩展明显,而限制了裂缝在长度的延伸。

1)均匀化方法是一种多尺度摄动求解方法,通过建立的平衡方程、本构方程、几何方程、边界条件等,结合有限元原理,利用虚位移原理,最终求解得到单胞宏观等效弹性张量,解决材料带来的多尺度问题,有效降低计算过程中的计算量。

2)将储层表征为“基质-交界面-砾石”复合态,储层砾石粒径与位置满足随机分布规律,采用Monte-Carlo 进行随机抽样,任意生成砂砾岩储层,完成砂砾岩储层表征。

3)在拟三维模型的假设下,以Palmer 模型为基础,完成水力压裂裂缝延伸方程,主要包括连续方程、压降方程、裂缝宽度方程、裂缝高度方程。

4)完成砂砾岩储层水力压裂裂缝三维扩展数值模拟研究,利用本文均匀化方法,得到整体宏观砂砾岩等效弹性系数组合弹性模量和泊松比,分别为3 600 MPa、0.29;利用拟三维裂缝扩展模型,分析表明:地层应力差、施工排量与压裂液黏度均影响裂缝三维扩展。

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