初中数学教学中数学抽象的概念理解与培养路径

周存兰

[摘  要] 义务教育数学核心素养的表述为：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 在核心素养以及初中数学学科核心素养的视角之下认识数学抽象，必须能够发掘其新的内涵. 这种新的内涵意味着对数学抽象的理解必须与核心素养培育的最终目标相匹配;必须要与学生的具体学习过程，尤其是学习过程中表现出来的规律相匹配;必须要对教师的日常教学起到指导性的作用. 在培养学生数学抽象素养的時候，要保证提供给学生的现实世界中的事例，与所对应的数学关系之间，要有相对简单、对应的关系，要保证学生能够运用自己的数学意识与数学思维，将这些数学关系寻找出来.

[关键词] 初中数学;数学抽象;概念理解;培养路径

《义务教育数学课程标准（2022年版）》已经正式发布，相对于其他学段的核心素养表达而言，义务教育数学核心素养的表述更为通俗，其为：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 借助这三个表述，可以对初中数学学科核心素养进行全面的理解. 根据课程标准的阐述，初中阶段的数学学科核心素养表现，包括抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识以及创新意识. 在这些要素当中，抽象能力首当其冲，这是有原因的. 对于初中数学乃至于整个义务教育阶段的数学而言，其中的数学知识与生活的关系都非常密切，很多数学知识都来自现实世界，所学到的数学知识又能反作用于现实世界，所以在帮助学生建构数学知识的时候，立足于现实世界进行教学，然后对现实世界的事物进行数学抽象，就是一个基本的教学思路.

数学抽象不是一个新的概念，但是在核心素养以及初中数学学科核心素养的视角之下认识数学抽象，又必须能够发掘其新的内涵. 这种新的内涵意味着对数学抽象的理解必须与核心素养培育的最终目标相匹配，必须与学生的具体学习过程，尤其是学习过程中表现出来的规律相匹配，必须对教师的日常教学起到指导性的作用. 尤其值得一提的是，数学抽象过程应当成为学生的体验过程，只有让学生经历数学抽象，才能让学生形成关于数学抽象的经验性认识，并且基于这一认识上升为理性思维. 而也只有具备了理性思维的支撑，数学抽象才能真正成为学生的素养.

所以对于一线教师来说，要想将初中数学学科核心素养中的数学抽象素养落实到地，首先要从理论上建立起关于数学抽象的基本理解，然后要在日常教学实践的基础上，借助日常的教学实践以及形成的基本案例，来判断自己对数学抽象的理解，来评价学生数学抽象素养的形成过程与结果. 这样的研究思路符合理论联系实际的基本需要，也是一线初中数学教师进行教学研究的基本范式.

初中数学教学中数学抽象的概念理解

从定义的角度来看，有人认为，数学抽象是指从空间形式与数量关系中得到数学研究对象的思维过程[1]. 这样的定义是从数学抽象的本质角度给出的，其实在学生把握空间形式与数量关系的时候，也有一个数学抽象的过程，因为空间形式与数量关系在生活当中并不是直接出现的，现实中的事物往往都以具体的形态出现在人们的面前，数学中的空间形式与数量关系通常都隐含在这些事物的背后，要想让空间形式与数量关系从现实世界中凸显出来，这个时候观察者就必须具有数学的眼光. 所以说，在“会用数学的眼光观察现实世界”这一阐述当中，所强调的核心就是数学抽象.

数学抽象是需要工具的，这个工具既是指“数学的眼光”，同时也是指数学的思维与数学意识. 数学意识是前置性条件，对于绝大多数人而言，看到现实世界中的事物时，往往是从直观的角度进行观察，如形态、颜色、大小等，所获得的是直观感受. 数学意识则不同，一个拥有数学意识的人，在看到现实世界中的事物时，往往会不由自主地从数与形的角度去解析，解析得深入与否，又取决于数学思维水平的高低. 数学意识与数学思维综合起来，影响着学生数学的眼光，进而也就影响到学生对现实世界的观察.

由此可以认为，在初中数学教学中理解数学抽象的概念，应当建立在感性认识与理性认识相结合的基础之上. 要知道数学抽象本身是一个抽象的概念，但数学抽象的进程体现在学生身上的时候，却是数学意识与数学思维共同作用的结果，表现为学生看到现实世界中的事物时，能够剥离其中的非数学因素，留下其中的数学因素（值得一提的是，这样的过程会与学生的数学知识基础以及能力高低直接相关，在剥离的时候有可能会因为自身的水平高低而出现不同的结果），从而在自己的大脑中建构起一个关于现实事物的数学表象. 这个表象是由数与形组合而成的，是数学抽象的结果，是反映现实生活中事物内在数学特征的模型.

要培养学生的数学抽象素养，教师就应当注意相关的教学策略. 事实已经表明，大量的机械学习和机械训练容易导致学生的数学抽象能力不理想[2]. 因此要在数学抽象能力培养的基础上发展学生的数学抽象素养，就需要通过具体的案例分析，去发现数学抽象素养培养的基本规律，去寻找到有效的数学抽象素养培养的评价维度. 下面笔者就初中数学教学中数学抽象的培养途径，进行进一步的陈述.

初中数学教学中数学抽象的培养路径

在初中数学教学中寻找数学抽象的培养路径，并不是一件轻而易举的事情. 事实表明，教师如果要开展抽象思维的教学，就必须明确数学教学训练的目标、层次、内容. 教师只有建立一套教学目标体系，才能够长期地、持续地、定向地开展数学教学，避免在数学教学中出现教学偏差. 而基于数学抽象的基本特征，笔者以为在培养学生数学抽象素养的时候，要保证提供给学生的现实世界中的事物，与所对应的数学关系之间，要有相对简单、对应的关系，要保证学生能够运用自己的数学意识与数学思维，将这些数学关系寻找出来. 当然这么强调并不是说要让数学关系清晰可见，而是强调在“最近发展区”内，通过学生的努力以及教师恰到好处的引导，使学生拥有一个充实的体验数学抽象的过程.

例如，“点、线、面、体”的学习中，教师应当认识到这是几何知识学习的基础，同时这也是一个培养学生良好的数学抽象素养的契机. 这是因为“点、线、面、体”既是纯粹的数学概念，同时在日常生活中又有着相应的运用，当然即使是同一个概念，在数学当中和在生活当中的含义会有所不同，对于初中学生来说，他们对于“点、线、面、体”的认识，首先来自生活，生活中所说的出发点、直线、平面、物体等等，都是学生关于“点、线、面、体”的生活认识. 当在生活中提到“点、线、面、体”时，学生大脑当中所浮现出来的，也就是关于“点、线、面、体”的实际物体. 这里可以发现，学生在生活中形成的经验具有一个基本的特征——概念与实物的一一对应. 这里还隐藏着一个重要的规律，即学生在生活中所形成的经验，往往就是通过概念名称与实际物体构建出来的. 对于数学学习而言，这是教学的基础，对于数学知识的建构来说，在实际物体与概念名称之间嵌入数学知识，是一个重要的教学目的，也是数学抽象的根本所在. 换句话说，当学生能够运用数学知识衔接概念与实际物体的时候，就是数学抽象教学成功的时候.

本着这样的思路，对于“点、线、面、体”的教学，就要重视数学抽象过程的设计. 笔者在教学时，重点设计了这样几个环节：

环节1：让学生结合自己的生活经验，说出生活中与“点、线、面、体”相关的物体或概念.

这是一个调动学生生活经验的过程，也是让学生的思维指向“点、线、面、体”的过程. 当学生分别举出“点、线、面、体”的例子时，他们会不由自主地将自己所认为的“点、线、面、体”的物体进行比较，这实际上就为后面通过分析与综合总结得出“点、线、面、体”的特征打下基础.

从数学抽象素养培养的角度来看，在这个环节，学生所举出的例子越丰富，数学抽象的基础也就越扎实. 当然丰富的例子只是数学抽象的必要条件之一，要想让数学抽象真正发生，还离不开教师的引导. 这就使得数学抽象的体验过程进入第二个环节.

环节2：通过问题驱动学生数学抽象体验的形成.

数学抽象强调的是从现实世界的物体走向抽象世界的数学，即“数”从“形”中抽象出来. 对于“点、线、面、体”这一内容的教学来说，就是要让学生能够从数学的角度认识到“点、线、面、体”意味着什么. 根据学生的认知规律，数学抽象的切入口可以从“体”开始，在学生的经验世界里，与“体”相关的就是物体，而在现实世界中“物体”有着无数种，如何从纷繁复杂的无数种物体中抽象出“体”的认识呢？这就需要因繁就简，需要运用数学抽象的方法，解析出复杂物体中的简单物体. 比如说让学生研究一个房子（如教室）的结构，学生就会发现，尽管房子的结构很复杂，但是如果“拆”开来，就可以得到“方形的墙”——这就对应着“长方体”和“正方体”，可以得到“圆形的柱子”——这就对应着“圆柱体”……其后，換一个视角去看“方形的墙”和“圆形的柱子”，就可以得到“长方形”或者“圆形”（甚至还有学生提出，如果斜着看圆柱的截面，还可以得到“椭圆形”），这个时候的“形”，实际上就是基于平面的抽象结果;接着，引导学生抽象得出“线”. 学生生活中建立起的关于线的概念，来自那些叫线的物体，如电线、导线、棉线等，因此学生会认为“细”“长”的物体，即可称之为线. 有此经验基础，数学抽象的运用空间可以是让学生去观察教室中墙壁与墙壁的交界处，这样以激活学生的经验认识，还能够进一步让学生认识到数学意义上的线是没有粗细的. 事实上这些认识还可以为后续的点埋下伏笔，通过数学抽象，学生就可以认识到数学意义上的点没有实际的大小……

环节3：通过总结获得数学抽象的结果.

数学抽象的结果往往表征为数学概念或者规律的得出，因此教师借助数学概念或者规律的构建与运用水平，来判断学生在数学抽象过程中体验的效率，这是一个具有因果关系的过程. 一个简单的做法是，在黑板上用粉笔描出一个白点、画出一条白线，然后问学生：这是不是数学意义上的点或线？等到学生做出判断之后，教师再引导学生辨析，这样“学生看得到的白点和白线”与“数学意义上的点和线”的区别也就凸显出来了.

数学抽象的核心素养指向与教学前瞻

通过上述教学，可以发现在初中数学教学中要发展学生的数学抽象素养，很关键的一点就是：教师自身要有明确的数学抽象培养的意识. 这种意识的养成，对于实际教学的过程与结果影响巨大，因为当教师拥有数学抽象培养的意识时，其会在教学设计与教学实施的每一个环节，都去关注有没有数学抽象培养的机会;反之如果没有这种意识，那么即使有无数个机会也会被忽视. 教师除了必须有明确的数学抽象培养意识，还必须有明确的教学目的指向. 作为初中数学学科核心素养的组成要素，立足于数学抽象过程的体验，去培养学生相关的能力，最终的目的是为了让学生形成数学抽象素养，也就是让学生拥有用数学的眼光观察实际生活的本领.

既然新版的《义务教育数学课程标准》已经正式发布，那么立足于数学抽象素养的培养，笔者以为核心素养以及数学学科核心素养一定会以文始提到的“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”教育理念为出发点和落脚点，同时未来的初中数学教学也一定会在具体的教学案例研究与分析当中，得出包括数学抽象在内的评价方法与机制. 如此，数学抽象的教学就可以形成一个从意识建立到策略形成，再到评价机制形成的教学回路，这样也就可以让学生处于一个良好的学习状态当中.

总而言之，数学是一门抽象的学科，数学学习需要学生的抽象思维能力作为基础[3]. 在核心素养的背景之下，必须高度重视数学抽象的教学. 当然要说明的是，强调数学抽象的重要性，并不是说在数学教学中只重视数学抽象，实际上数学抽象是整个数学学科核心素养体系的组成部分，基于整体的视角去强调数学抽象的作用，更能够让整个核心素养落地.

参考文献：

[1]吴小兵. 初中数学抽象的要义与培养关键点[J]. 教学与管理，2021（07）：39-41.

[2]邬吉利. 核心素养视角下初中生数学抽象能力的培养——以初中数学“一元一次方程的应用”的教学为例[J]. 数学教学通讯，2020（02）：35-36.

[3]张本陆. 谈初中数学教学中如何培养学生的抽象思维能力——以“变量与函数”的教学为例[J]. 数学教学通讯，2014（01）：9-10.

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