一类Riemann-Liouville分数阶时滞随机发展方程的Ulam-Hyers稳定性

白玉洁,杨 和

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

目前,关于随机微分方程的Ulam-Hyers稳定性[1]研究已有许多结果[2-7],其中: 文献[2]研究了具有有限时滞的随机脉冲泛函微分方程解的存在性和Ulam-Hyers稳定性; 文献[3]用Mönch不动点定理和非紧性测度理论研究了具有无限时滞的脉冲Riemann-Liouville分数阶中立型泛函随机微分方程解的存在性和Ulam-Hyers稳定性; 文献[4]用算子生成预解族的方法给出了Riemann-Liouville分数阶发展方程温和解的恰当定义,并在Banach空间X中讨论了分数阶发展方程

但具有加权非线性函数的Riemann-Liouville分数阶随机时滞发展方程温和解的存在唯一性和Ulam-Hyers稳定性研究目前尚未见文献报道.本文考虑Hilbert空间H中具有有限时滞的Riemann-Liouville分数阶随机发展方程

(1)

考虑两个可分的Hilbert空间K和H,L(K,H)表示从K到H有界线性算子构成的空间,(·,·)表示K和H中的内积.用(Ω,F,{Ft}t≥0,P)表示具有流{Ft}t≥0的完全概率空间,{Ft}t≥0满足常规条件,即它是右连续的,并且F0包含了所有概率测度为零的集合.{Wt}t≥0为定义于(Ω,F,P)上的Q-Wiener过程,其中Q为有界线性协方差算子且trQ<+∞.假设存在K中的一个标准正交系{en}n≥1和有界序列ln≥0,使得Qen=lnen(n=1,2,…).设{βn}n≥1是一个独立布朗运动,且满足

定义1[3,9]函数f: [0,+∞)→的q阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

其中Γ表示Gamma函数.

定义2[3,9]函数f: [0,+∞)→的q阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

其中n=[q]+1,[q]表示q的整数部分.

类似于文献[8]和文献[10],由分数阶微积分和Laplace变换,半线性加权分数阶随机发展方程(1)的温和解可被定义为:

定义3若函数x: [-r,b]→Lp(Ω,H),且其在J上的限制属于C1-q(J,Lp(Ω,H)),则x(·)是系统(1)的温和解当且仅当其满足积分方程

(2)

其中

ξq(θ)表示定义在(0,∞)上的概率密度函数,满足

引理1[8]对任意给定的t≥0和∀x∈H,有

设ε>0.考虑下列不等式:

(3)

定义4(Ulam-Hyers稳定性)[3]若存在常数K>0,使得对任意的ε>0及不等式(3)的解y∈C1-q(J,Lp(Ω,H)),都存在系统(1)的一个解x∈C1-q(J,Lp(Ω,H)),满足下列不等式:

则称系统(1)是Ulam-Hyers稳定的.

其中Lσ>0是与p和a相关的常数.

引理3(Bellman不等式)[12]设K为非负常数,f(t)和g(t)为区间α≤t≤β上的非负连续函数,且满足不等式

则有

为证明系统(1)温和解的存在唯一性及Ulam-Hyers稳定性,引入如下假设条件:

(H1) 函数f:J×C([-r,0],H)→H满足:

(i) 对a.e.t∈J,函数f(t,·)连续; 对∀v∈C([-r,0],H),函数f(·,v)可测;

(ii) 存在常数L1>0,使得对∀t∈J,v1,v2∈C([-r,0],H),有

(i) 对a.e.t∈J,函数σ(t,·)连续; 对∀v∈C([-r,0],H),函数σ(·,v)可测;

(ii) 存在常数L2>0,使得对∀t∈J,v1,v2∈C([-r,0],H),有

定义算子F:C1-q(J,Lp(Ω,H))→C1-q(J,Lp(Ω,H))如下:

定理1若假设条件(H1)和(H2)成立,则当

(4)

时,系统(1)存在唯一的温和解.

证明: 由定义3,系统(1)的温和解等价于算子F的不动点.因此,对算子F应用Banach压缩映射原理证明其存在唯一不动点.

对∀x,y∈C1-q(J,Lp(Ω,H))及∀t∈J′,利用Hölder不等式,有

由文献[4]类似可得

因为当m∈[-r,0]时,

所以由假设条件(H1)可得

由引理2和假设条件(H2)可得

综上可得

根据式(4)可知,F:C1-q(J,Lp(Ω,H))→C1-q(J,Lp(Ω,H))是压缩映射.故由Banach压缩映射原理知,算子F在C1-q(J,Lp(Ω,H))中存在唯一不动点x,即系统(1)存在唯一温和解.证毕.

下面考虑系统(1)的Ulam-Hyers稳定性.

注1[13]函数y∈C1-q(J,Lp(Ω,H))为不等式(3)的解的充要条件是存在函数g∈C1-q(J,Lp(Ω,H))(与y无关)满足:

1) ‖g(t)‖≤ε(0<ε<1),t∈J′;

定理2若定理1的假设条件都成立,则系统(1)是Ulam-Hyers稳定的.

证明: 设函数y∈C1-q(J,Lp(Ω,H))为不等式(3)的解.由定理1知系统(1)存在唯一温和解x,则对∀t∈J′,有

记

则有

由Blman不等式可得

因此,存在K∶=A1exp{A2b},使得

E‖t1-qy(t)-t1-qx(t)‖p≤Kε,t∈J′,

由定义4可知系统(1)是Ulam-Hyers稳定的.

例1考虑分数阶时滞偏微分方程:

(5)

取H=L2([0,π],),设

x(t)(y)=x(t,y),

φ(θ)(y)=φ(θ,y).

由文献[9],做H中的算子A为

即假设条件(H1)成立.同理假设条件(H2)也成立.则系统(5)有唯一解x,且是Ulam-Hyers稳定的.

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